Principio de Inducción Matemática
febrero 10, 2012
Una de las características de las matemáticas es la de someter a juicio crítico todo lo que se afirma, lo que ha permitido poner bases sólidas para descubrimientos y aplicaciones posteriores. Cuando una persona o un grupo de ellas logra exhibir una sucesión coherente de argumentos válidos que muestra que una de esas afirmaciones es verdadera, entonces otro grupo de personas revisa que dentro de un contexto determinado lo que se provee como prueba sea válido y correcto. Cuando se completa todo este proceso entonces se habla de una demostración.
Cuando es necesario demostrar la validez de una proposición p(n) que depende de algún número natural n, entonces se utiliza el Principio de Inducción Matemática (PIM). La lógica detrás de este principio está basada en las propiedades recursivas de los números naturales explicadas por Giuseppe Peano (1858-1932). El PIM resulta ser el quinto axioma postulado por Peano, con los que caracteriza por completo a los números naturales.
Para descubrir la lógica detrás del PIM vamos a comenzar con un tipo de números que algunos conocen como triangulares y que tiene a bien describir cierto diablo de los números. El diablo, después de ayudar a Robert a saciar su sed con agua de coco, le pide que comience a arrojar los cocos a la arena. Primero uno, después tres más, luego seis más, siguieron con diez y así continuaron hasta que sobre la arena sólo se veían triángulos formados con los cocos que arrojaron.
Por el momento nos separaremos de Robert y el diablo y continuaremos por nuestra cuenta aprovechando las figuras que formaron en la arena. Primero vamos a indicar cada figura que formaron con un número para después contar la cantidad de cocos que tiene cada uno de los triángulos.
| Figura | Cantidad de cocos |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 6 |
| 4 | 10 |
Lo primero que vamos a hacer es deducir cuántos cocos tiene la quinta figura sin acudir con Robert ni con el diablo para pedir su ayuda. Para lograrlo pongamos atención en las figuras y comparemos éstas a pares, para apreciar sus diferencias y sus similitudes.
Hablando de diferencias, la que hay entre la cantidad de cocos en la primer figura y la segunda es 2, mientras que la que hay entre la segunda figura y la tercera es 3 y finalmente la diferencia entre la cantidad de cocos en la figura 4 y en la figura 3 es 4. A partir de esto parece razonable creer que la diferencia entre la quinta figura y la cuarta será 5 y en ese caso la quinta figura tendrá quince cocos, lo cual pueden avalar tanto Robert como el diablo. lo que no es pedir su ayuda, sino que avalen los pasos que damos en nuestro proceso.
Una vez que Robert y el diablo han verificado nuestra respuesta, volvamos a nuestro camino y ahora observemos las similitudes entre las figuras. Para ello notemos que:
| Figura |
Cantidad de cocos
|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 = 1 + 2 |
| 3 | 6 = 1 + 2 + 3 |
| 4 | 10 =1 + 2 + 3 + 4 |
| 5 | 15 =1 + 2 + 3 + 4 + 5 |
Después de la primer figura, todas tienen una cantidad de cocos que puede calcularse sumando tantos cocos como lo indica el número de figura, a la cantidad de cocos de la figura anterior.
Hemos descubierto una regla que determina cómo calcular la cantidad de cocos en cada figura y la manera de enunciarla se aprecia una característica importante entre los naturales: La recursividad:
- La cantidad de cocos de la primer figura es el punto de partida.
- Para calcular la cantidad de cocos en cierta figura que no sea la primera, es necesario calcular la cantidad de cocos de la figura anterior.
Lo anterior puede ponerse en los siguientes términos:
Si n denota al número de figura y c(n) a la cantidad de cocos en ella, entonces: c(n) = 1 + 2 + ... + n.
Ahora queda la tarea de realizar el cálculo. En mi experiencia como profe, ha habido ocasiones en las que hay estudiantes que antes de que yo pueda al menos plantear la pregunta, ya saben cómo calcular de manera alternativa a la que tengo pensada. En ese sentido y pensando en que quien está leyendo esto puede ser de esas personas de las que estoy hablando, o bien una de esas personas que puede buscar en la nube información de los números triangulares, y encontrar algo como lo que propongo en la página 11 del cuaderno de trabajo --que a su vez se le atribuye a Gauss-- en donde afirmo que la suma de los primeros mil naturales coincide con la mitad del producto del mil con uno más que él, es necesario tener una garantía de que lo que se propone o se encuentra en efecto es válido.
¿Cómo mostrar que lo que propongo es cierto? ¿Cómo mostrar que haciendo adecuaciones al método allí propuesto se puede calcular la suma de los primeros n naturales?
Ni hablar de probar que sirve para cada natural de manera exhaustiva. Qué tal que usamos la propia idea de recursividad:
- Probemos que es válido para el primero de ellos.
- Probemos que el hecho de que valga para un natural arbitrario implica que sirve para el que sigue.
Observe que si procedemos de esa manera, entonces tendremos garantía de que la afirmación es válida para cualquier natural. Por ejemplo, si ya hemos probado ambas puntos, entonces el hecho de que sea válido para n=1 implicará que lo es para n+1=1+1=2. Esto a su vez implicará que es válido para 2+1=3 y así de manera sucesiva, con lo que tendremos garantía de que la proposición es válida para cualquier natural.
En general el Principio de Inducción Matemática se enuncia como sigue:
Si p(n) es una proposición que depende de un número natural n tal que:
- base de inducción: p(1) es verdadera y
- hipótesis de inducción: la validez de p(k) implica la de p(k+1),
entonces p(n) es válida para cada número natural.
Procedamos entonces a demostrar que la proposición:
p(n): 1+2+3+...+n = n(n+1)/2.
Base de inducción: La proposición es válida para n = 1, pues:
Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún k la proposición se cumple; es decir p(k):
Vamos a demostrar que lo anterior implica que:
p(1) = 1 = 1(1+1)/2 es verdadero.
Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún k la proposición se cumple; es decir p(k):
1+2+3+...+k = k(k+1)/2 es verdadera.
p(k+1): 1+2+3+...+(k+1) = (k+1)((k+1)+1)/2
también lo es.
Demostración: Merced a la hipótesis de inducción, la suma 1 + 2 + .3 + ..+ k + (k+1) puede asociarse y escribirse como:
1 + 2 + .3 + ..+ k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k + 1).
1 + 2 + .3 + ..+ k + (k+1 = (k + 1)(k + 2)/ 2
Lo anterior quiere decir que tanto Robert como el diablo ya disponen de una fórmula que les permite calcular con certeza la cantidad de cocos que hay en cualquiera de las figuras que formaron y pueden estar seguros que así es.
Ahora recomiendo que practiquen con las actividades que planteo al respecto en la página 11 del cuaderno de trabajo. Hasta la próxima entrada.
Algunas referencias:
- Courant, Richard y Herbert Robbins. ¿Qué son las Matemáticas?. Tr. de Martín Manríque Mansur. FCE. Primera reimpresión. México 2006. 622 pp.
- Magnus Enzensberger, Hans. El diablo de los números. Tr. del alemán de Carlos Fortea. Siruela. Vigésimo tercera edición. España 2007. 257 pp.
- Spivak, Michael. Calculus. Editorial Reverté S. A. Segunda Edición, México 1993. 926 pp.
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