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La derivada como razón de cambio


Las cantidades, así como las razones de cantidades, que tienden a
la igualdad constantemente en un cierto tiempo nito y antes del
límite de dicho tiempo se aproximan mutuamente más que una
diferencia dada, al final se hacen iguales.

Isaac Newton (1642-1727).


En la clase discutimos cómo es que uno de los fenómenos que puede describirse con precisión usando razones de cambio es el de caída libre y las actividades entonces fueron para ilustrar este hecho al describir cómo cambia la distancia que recorre un móvil, en la medida en la que transcurre el tiempo.

Se dijo que experimentalmente se ha demostrado que la distancia (medida en pies) "y" que recorre un objeto que se deja caer libremente cerca de la superficie terrestre durante los primeros "t" segundos puede describirse mediante la función:

y = 16 t^2

Lo primero que en esa clase hicimos fue trazar la gráfica de esta función. Discutimos cómo es que al momento ya cuentan con muchas formas de hacer, por ejemplo:

  1. Reconocer que el dominio de esta función es el conjunto de números reales, para después elegir algunos en algún intervalo y calcular sus parejas para después localizarlas en el plano cartesiano (tabular).
  2. Reconocer la función como lugar geométrico; como parábola con vértice en el origen, foco en (0, 1/64) y la recta  y = 1/64 como directriz, pues su parámetro p es tal que 4p = 1/16.

    Figura 1: Parábola y = 16 t^2

Una vez realizado el trazo de la gráfica de la función, nos dimos a la tarea de tener en contexto a las coordenadas de cada uno de los puntos sobre la parábola: la primera representa tiempo, mientras que la segunda representa la distancia recorrida; por lo tanto la primer coordenada sólo puede ser no negativa y me permitiré llamarlo dominio del contexto para diferenciarlo del dominio teórico de la función (ver inciso 1). Así pues sólo nos concentraremos en la rama derecha de la parábola.

Para continuar las actividades pedí que localizará un punto sobre la parábola y acordamos que ese sería el punto que usaríamos como referencia y por tal razón lo indicaríamos con el subíndice 0: (t0, y0) y lo entenderemos como tiempo inicial y posición inicial.


Una vez tomado los acuerdos, la siguiente actividad fue estudiar el cambio de la posición cuando ha transcurrido apenas una fracción de segundo:

\overline{v(t)} = \frac{y-y_0}{t-t_0}

A esto es a lo que se le llama velocidad promedio, y es a partir de este concepto como se calcula la velocidad instantánea la cual entenderemos como aquella en la que el tiempo es el inicial.
Para el caso particular que nos ocupa, esta expresión puede simplificarse como sigue:

  1. Localizar la posición y una vez que ha transcurrido el tiempo t, así como la posición inicial y0. En este caso tales puntos los he llamado P y P0 respectivamente:
    \begin{align*} y & = 16t^2\\ y_0& = 16t_0^2 \end{align*} 
    Figura 2: Punto inicial P0 y punto P una vez que ha transcurrido el tiempo.
  2. Calcular la diferencia entre las cantidades anteriores:


    \begin{align*} y -y_0& = 16t^2 - 16t_0^2\\ & = 16(t-t_0)(t+t_0) \end{align*} 
    Figura 3: Diferencia entre las posiciones desde y0 hasta y una vez que ha transcurrido el tiempo desde t0 hasta t.

  3. Calcular la razón entre la cantidad anterior y el tiempo transcurrido. Note como esta cantidad corresponde a la pendiente de la recta que une sendos puntos:


    \begin{align*} \frac{y -y_0}{t-t_0}& = \frac{16(t-t_0)(t+t_0)}{t-t_0}\\ & = 16(t+t_0) \end{align*} 
    Figura 4: Pendiente de la recta que une a los puntos P y P0
  4. Finalmente se estima el valor de la pendiente anterior, cuando el tiempo es arbitrariamente próximo al inicial:

    \begin{align*} \lim_{t\to t_0}\frac{y -y_0}{t-t_0}& = 16(t+t_0)\\ & = 32t_0 \end{align*}

En el ejemplo que está ilustrado con las imágenes anteriores t0 = 0.24, lo que implica que la pendiente de la recta es 7.68 pies/seg.

En ese caso, la recta tangente a la gráfica de la curva en P0=(0.24 seg, 0.92 pies) tiene como ecuación:


\begin{align*} y - 0.92& = 7.68(t-0.24) \end{align*}.

No podemos dejar de pensar que esta descripción fue pensada con un punto inicial arbitrario. En el caso general en el que el punto de inicio simplemente es
\begin{align*} P_0 =(t_0, 16t_0^2) \end{align*},

entonces el modelo de ecuación de la recta que pasa por ese punto es:

\begin{align*} y - 16t_0^2 & = 32t_0(t-t_0) \end{align*}.

La siguiente animación ilustra cómo es que cada una de las rectas descritas por el modelo anterior, contribuye con un punto a trazar la parábola con la que comenzamos (para los primeros tres segundos):


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Ahora sólo queda que practiquen con los problemas que asigné en la página 15 del cuaderno de trabajo y subir a sesiones de asesoría para resolver sus dudas. Hasta la próxima entrada.

Las ecuaciones las edité y transformé en imágenes usando http://mathurl.com/, mientras que las gráficas las tracé usando geogebra  el cual está disponible en http://www.geogebra.org/cms/.

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